Найти коэффициент при x^10 y^9 z^8 в разложении (3x^2+5y^3+6z^4)^10

По формуле мультиномиального разложения: (3x^2+5y^3+6z^4)^10 = ∑(10 choose k1,k2,k3) * (3x^2)^k1 * (5y^3)^k2 * (6z^4)^k3 где сумма берется по всем тройкам k1, k2, k3, таким что k1+k2+k3=10, choose обозначает биномиальный коэффициент. Чтобы найти коэффициент при x^10 y^9 z^8, нам нужно найти все тройки k1, k2, k3, которые удовлетворяют условию k1+k2+k3=10, k2=9 и k3=8. Из этого следует, что k1=10-9-8=-7, что не возможно. Таким образом, коэффициент при x^10 y^9 z^8 равен нулю.

Для того чтобы найти коэффициент при x^10 y^9 z^8 в разложении (3x^2+5y^3+6z^4)^10, нужно воспользоваться формулой для раскрытия скобок в степени: (a + b + c)^n = ∑(k=0,n) C(n,k)*a^(n-k)*b^k*c^(n-k) где C(n,k) - биномиальный коэффициент "n по k", равный n!/(k!(n-k)!). В данном случае, a=3x^2, b=5y^3, c=6z^4 и n=10. Тогда коэффициент при x^10 y^9 z^8 будет равен: C(10,2)*(3x^2)^(10-2)*(5y^3)^2*(6z^4)^(10-2) = C(10,2)*3^8*5^2*6^8*x^20*y^6*z^4 где C(10,2) = 10!/(2!8!) = 45. Итого, коэффициент при x^10 y^9 z^8 равен: 45*3^8*5^2*6^8 = 1 687 106 400.