У площині ABC точки A та С рівновіддалені від точки D, що належить перпендикуляру DB. Знайти довжину АС, якщо DB = 5 см, АВ = 12 см,  ∠DAC = 60°.​

Відповідь:

Позначимо точку перетину перпендикуляру DB з відрізком AC як точку E. Оскільки точки A та С рівновіддалені від точки D, то вони лежать на колі з центром в точці D. Також оскільки ∠DAC = 60°, то точки D та E ділять відрізок AC навпіл (див. рисунок).

https://i.ibb.co/9h6XNp6/triangle.png

Позначимо довжину відрізку AC як х. Тоді, з теореми Піфагора, маємо:

DE^2 + DB^2 = BE^2

Також, оскільки точки D та E є серединними точками відрізків АС і ВС відповідно, то маємо:

AD = DC = \frac{x}{2}

BE = EC = \frac{AB}{2} = 6

Тоді:

DE^2 + DB^2 = BE^2

(\frac{x}{2})^2 + 5^2 = 6^2

\frac{x^2}{4} + 25 = 36

\frac{x^2}{4} = 11

x^2 = 44

x = 2\sqrt{11}

Отже, довжина АС дорівнює $2x = 4\sqrt{11}$.