Через кінець А відрізка АВ проведено площину; через кінець В і точку С відрізка АВ проведено паралельні прямі, що перетинають площину в точках В1 і С1 відповідно. Знайти довжину відрізка СС1 якщо ВВ1=18 м і АВ1:С1В1=3:1.​

Відповідь:

За теоремою Таліса, якщо точка D - точка перетину прямих СС1 та ВВ1, то

$$\frac{VD}{VD_1}=\frac{VB}{VB_1}$$

Але так як прямі СС1 і ВВ1 паралельні, то $\frac{VD}{VD_1}=\frac{CC_1}{V_1D_1}$ і $\frac{VB}{VB_1}=\frac{AA_1}{V_1D_1}$

Отже, $\frac{CC_1}{V_1D_1}=\frac{AA_1}{V_1D_1}$, або $CC_1=AA_1=AB_1-BB_1$

Оскільки $BB_1=VB-VB_1=VB-18$, а $AB_1=\frac{3}{4}C_1V_1$, то

$$CC_1=\frac{3}{4}C_1V_1- (VB-18)$$

Залишилося знайти $V_1C_1$. Але $VB_1=V_1C_1$ (оскільки ВВ1 і С1С паралельні), тому

$$CC_1=\frac{3}{4}V_1C_1- (VB-18)$$

З формули Піфагора в прямокутному трикутнику ВВ1V1 маємо

$$V_1B_1=\sqrt{V_1V^2-B_1V^2}=\sqrt{V_1V^2-(VB-VB_1)^2}=\sqrt{V_1V^2-(VB-18)^2}$$

Оскільки $\frac{AB_1}{VB_1}=\frac{3}{1}$, то $AB_1=3VB_1$, а тому $AV=AB_1+VB=4VB_1$. Таким чином,

$$AA_1=\frac{3}{4}C_1V_1=\frac{3}{4}V_1B_1$$

З попередніх формул маємо:

$$CC_1=\frac{3}{4}V_1C_1- (VB-18)=\frac{3}{4}\frac{AA_1}{3}- (AV-18)=\frac{1}{4}AA_1+18$$

Остаточно:

$$CC_1=\frac{1}{4}AA_1+18=\frac{1}{4}(AB_1-BB_1)+18=\frac{1}{4}(4VB_1- (VB-18))+18=\frac{5}{4}VB_1+9$$

$$=\frac{5}{4}\sqrt{V_1V^2-(VB-18)^2}+9$$

Таким чином, $CC_1$ можна знайти з відомостей про $V_1V$ та $VB$.