Периметр трикутника ABC описаного навколо кола дорівнює 60 см. Точка дотику кола до сторони AB ділить цю сторону на відрізки 5 та 4 см, починаючи від вершини А. Знайдіть найбільшу сторону трикутника​

Ответ:

Снизу.

Пошаговое объяснение:

Нехай точка дотику кола до сторони AB називається D, точки дотику кола до сторін BC і AC називаються відповідно E та F, а радіус кола - r.

Оскільки точка дотику D ділить сторону AB на відрізки 5 та 4 см, то AB = AD + DB = 5 + 4 = 9 см.

Також за властивостями кола, точки дотику кола до сторін трикутника є точками дотику до середин відповідних сторін: DE = EF = FD = r.

Отже, периметр трикутника ABC дорівнює:

AB + BC + AC = 9 + 2r + 2r = 9 + 4r

Але з іншого боку, за формулою для площі трикутника ABC, що описаний навколо кола з радіусом r, маємо:

S_ABC = (AB × BC × AC) / (4r)

Оскільки радіус кола і периметр трикутника пов'язані формулою r = P_ABC / (2s), де s - півпериметр трикутника ABC, то можемо записати:

S_ABC = (AB × BC × AC) / (4r) = (AB × BC × AC × 2s) / (8P_ABC)

А отже:

AB × BC × AC = 4S_ABC × P_ABC / s

Підставляємо значення периметру, що дорівнює 60 см, і відомі значення AB = 9 см, DE = r і EF = r - 4:

9 × BC × AC = 4 × πr^2 × 60 / (r + r + 9 + r - 4)

9 × BC × AC = 120πr / (2r + 5)

BC × AC = 40πr / (2r + 5)

Залишається знайти максимальне значення сторони трикутника. Це можна зробити, використовуючи нерівність між середнім геометричним і середнім арифметичним:

(BC + AC) / 2 ≥ √(BC × AC)

Тобто:

BC + AC ≥ 2√(BC × AC)

Або:

(BC + AC)^2 ≥ 4BC × AC

Розв'язуючи цю нерівність, отримуємо:

BC × AC ≤ 225

А отже, найбільша сторона трикутника не перевищує √225 = 15 см.