Доказать, что сумма первых n (n пренадлежит N) нечëтных чисел равна квадрату их числа, т. е. 1+3+5+...+(2n-1) =n²

Доказательство можно провести по индукции. База индукции: при n=1, 1=1^2, что является верным утверждением. Предположение индукции: пусть утверждение верно для любого k из N, т. е. 1+3+5+...+(2k-1) = k^2. Докажем, что утверждение верно и для k+1: 1+3+5+...+(2k-1)+(2(k+1)-1) = k^2 + 2k + 1 Заметим, что левая часть выражения равна сумме первых k нечётных чисел, плюс (2(k+1)-1), т. е. (2k+1). Мы можем раскрыть скобки и получить: 1+3+5+...+(2k-1)+(2k+1) = (1+3+5+...+(2k-1)) + (2k+1) По предположению индукции первая часть равна k^2, а вторая часть равна (2k+1). Тогда: k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2 Таким образом, мы доказали, что утверждение верно для любого k из N, что завершает доказательство по индукции.