В опуклому чотирикутнику відрізки, які сполучають середини протилежних сторін, дорівнюють m і n, кут між ними дорівнює 60°. Знайдіть діагоналі чотирикутника ТЕРМІНОВО!!!!

Ответ:

Для розв'язання задачі нам потрібно скористатися теоремою косинусів, яка виглядає наступним чином:

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(A)

де a, b, c - довжини сторін трикутника, а A - кут, що між сторонами b та c.

Оскільки в чотирикутнику сполучають середини протилежних сторін, то отримаємо два трикутники, кожний з яких має одну діагональ як сторону, а інші дві сторони - це відрізки m та n.

Для першого трикутника отримаємо:

d^2 = (m/2)^2 + (n/2)^2 - 2*(m/2)*(n/2)*cos(60°)

d^2 = m^2/4 + n^2/4 - mn/2

Аналогічно для другого трикутника отримаємо:

d^2 = (m/2)^2 + (n/2)^2 - 2*(m/2)*(n/2)*cos(60°)

d^2 = m^2/4 + n^2/4 - mn/2

Отримали два рівняння, які дорівнюють один одному. Об'єднавши їх, отримаємо:

m^2/4 + n^2/4 - mn/2 = m^2/4 + n^2/4 - mn/2

mn = 1/2 * d^2

Тепер можна скористатися теоремою Піфагора для знаходження діагоналі чотирикутника. Для цього потрібно з'єднати середини суміжних діагоналей, тоді отримаємо прямокутний трикутник з діагоналями як катетами та шуканою діагоналлю як гіпотенузою:

d^2 = (m/2)^2 + (n/2)^2

d^2 = (mn)^2/16 + (mn)^2/16

d^2 = mn^2/8

Підставляємо mn з першого рівняння:

d^2 = (1/2 * d^2) * n^2/8

8 = n^2/2

n^2 = 16

n = 4

Тепер підставляємо n в будь-яке з рівнянь:

d^2 = 1/2 * 4^2

d^2 = 8