DABS-тетраэдер, точки S,Q,R,T середины отрезков АB, AC, DC, DB соответственно. Найти периметр четырёхугольника SQRT, если AD =8, BC=6.

Ответ:

Сначала найдем длины отрезков SD и BT:

SD = SB + BD = (AB + AD) / 2 + (DC + BD) / 2 = (AB + DC + 2AD + 2BD) / 2 = (AC + BD + 2AD) / 2 = (BC + 2AD) / 2 = (6 + 2*8) / 2 = 11

BT = BA + AD + DC + CT = (AB + BD) / 2 + AD + DC + (DB + DC) / 2 = (AB + DB + 2BD + 2AD + 2DC) / 2 = (AD + BC + 2AD + 2DC) / 2 = (6 + 2*8 + 2*DC) / 2

Так как DA и BC параллельны, то ST || DA и SQ || BC, поэтому ST = DA = 8 и SQ = BC = 6.

Теперь найдем длину третьей стороны четырехугольника. Обозначим точку пересечения SR и TQ как E. Тогда по теореме Ханна получаем:

ER / RT = BS / SA = BD / AD = 1/2

ET / TQ = CD / BQ = CD / BC = 2/3

Отсюда следует, что TR = 3ER и EQ = 2ET, или ER = TR/3 и ET = EQ/2.

Так как ST || RD и QE || BC, то TREQ - параллелограмм и TR = EQ и TE = QR. Также ST = EQ/2, поэтому SE = SQ + QE = SQ + 2TE = 6 + 2QR.

Наконец, периметр четырехугольника SQRT равен:

SQ + QT + TR + RS = 6 + QR + 3QR + 11 + 6 + 2QR = 18 + 6QR.

Подставляем ER = QR/3 и получаем:

SQ + QT + TR + RS = 18 + 6QR = 18 + 2ER = 18 + 2*(TR/3) = 18 + 2*(3ER)/3 = 18 + 2ER = 18 + 2(QR/3) = (36 + 2QR)/3

Ответ: периметр четырехугольника SQRT равен (36 + 2QR)/3.

Пошаговое объяснение: