Решить интеграл: ∫ sin^2(x) / cos^5(x) dx

Ответ:

Для розв'язання цього інтегралу скористаємося формулою заміни змінної. Позначимо cos(x) = t, тоді sin(x) dx = -dt / t. Після заміни отримаємо:

∫ sin^2(x) / cos^5(x) dx = ∫ -(1/t^2) * (1-t^2) / t^3 dt = -∫ (1/t^5 - 1/t^3) dt

Далі застосуємо формулу інтегрування степеневих функцій, щоб знайти антипохідну від кожної частини останньої рівності:

-∫ (1/t^5 - 1/t^3) dt = -(1/(-4t^4) - 1/(2t^2)) + C = (1/4cos^4(x) - 1/2cos^2(x)) + C

Отже, остаточний результат:

∫ sin^2(x) / cos^5(x) dx = (1/4cos^4(x) - 1/2cos^2(x)) + C. :)