Знайти точки екстремуму функції z = x 2 + y 3 − x − 3y + 1

Ответ:

Для знаходження точок екстремуму функції спочатку необхідно знайти часткові похідні за кожним з аргументів і прирівняти їх до нуля:

$$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x - 1 = 0$$

$$\frac{\partial z}{\partial y} = 3y^2 - 3 = 0$$

З першого рівняння отримуємо:

$$2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$$

Підставимо значення x у друге рівняння:

$$3y^2 - 3 = 0 \Rightarrow y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm 1$$

Отже, маємо дві точки екстремуму:

$$(\frac{1}{2}, 1)$$

$$(\frac{1}{2}, -1)$$

Щоб перевірити, чи є ці точки екстремуму, можемо провести дослідження за допомогою матриці Гессе або методу перевірки знаків других часткових похідних. Однак, оскільки дана функція є квадратичною, то ми відразу можемо скласти загальне уявлення про її геометричний вигляд - це параболічна поверхня, яка відкрита вгору. Отже, точки $(\frac{1}{2}, 1)$ та $(\frac{1}{2}, -1)$ є точками локального мінімуму та максимуму відповідно.