Решить Диофантово уравнение: 9x + 13y = 5

Ответ:

Для розв'язання Діофантового рівняння 9x + 13y = 5 необхідно знайти цілочисельні розв'язки x та y, які задовольняють цьому рівнянню.

Один зі способів розв'язання цього рівняння полягає у використанні розширеного алгоритму Євкліда.

Спочатку необхідно знайти найбільший спільний дільник чисел 9 та 13, використовуючи розширений алгоритм Євкліда:

13 = 1 * 9 + 4

9 = 2 * 4 + 1

4 = 4 * 1 + 0

Отже, найбільший спільний дільник для чисел 9 та 13 дорівнює 1.

Далі необхідно вирішити рівняння у вигляді 9x + 13y = 1, використовуючи обернені коефіцієнти з розширеного алгоритму Євкліда:

1 = 9 - 2 * 4

1 = 9 - 2 * (13 - 9)

1 = 5 * 9 - 2 * 13

Отже, x = 5 та y = -2 є розв'язками рівняння 9x + 13y = 1.

Щоб знайти цілочисельні розв'язки рівняння 9x + 13y = 5, необхідно помножити обидві частини рівняння на 5:

45x + 65y = 25

Знайдемо один розв'язок цього рівняння, наприклад, за допомогою підстановки x = 5 та y = -2:

45(5) + 65(-2) = 225 - 130 = 95

Отже, один розв'язок рівняння 9x + 13y = 5 дорівнює (x,y) = (5,-2).

Загальний розв'язок можна знайти шляхом додавання до цього розв'язку деякої кількості кратних векторів (13,-9):

(x,y) = (5,-2) + n(13,-9)

де n - довільне ціле число.

Отже, всі цілочисельні розв'язки рівняння 9x + 13y = 5 мають вигляд:

x = 5 + 13n

Пошаговое объяснение: