Найдите площадь круга, вписанного в ромб, площадь которого равна 40, а один из углов 30°

Пусть диагонали ромба имеют длины d1 и d2, тогда площадь ромба равна S = (d1*d2)/2. Так как один из углов ромба равен 30 градусам, то диагонали ромба делятся на две равные части и углы между диагоналями равны 60 градусам.

Из рисунка видно, что радиус вписанной окружности круга равен r = (d1/2)*sin(30) = (d2/2)*sin(30), так как в треугольнике, образованном половиной диагонали и радиусом, угол при радиусе равен 90 градусов, а при половине диагонали 60 градусов.

Площадь круга равна S' = πr^2 = π(d1/2)^2sin^2(30) = π(d2/2)^2*sin^2(30).

Так как S = 40, то (d1*d2)/2 = 40. Решая систему уравнений, получаем:

d1 = d2 = 2sqrt(10)

r = (d1/2)sin(30) = sqrt(10)

S' = π(d1/2)^2sin^2(30) = 5*π

Итак, площадь круга, вписанного в ромб с площадью 40 и углом 30 градусов, равна 5π.