Знайдіть найдовшу множину унікальних раціональних чисел у вигляді 1/x, сума яких дорівнює 1. x - [2;2023].

Ответ:

Перше, що ми можемо виконати, це визначити максимальну довжину послідовності. Звернімо увагу, що сума всіх можливих дробів виду 1/x, де х - ціле число, що належить інтервалу [2; n], дорівнює

1/2 + 1/3 + ... + 1/n

Це значить, що нам потрібно знайти максимальну послідовність дробів зі знаменниками в інтервалі [2; 2023], які в сумі дають цю суму.

Один з підходів до цієї проблеми - знаходження наближеного значення суми, а потім шукати послідовність від найбільших дробів до найменших до тих пір, поки сума дорівнює або стає меншою за шукане наближення.

Одним зі способів наближення суми є використання формули Гармоніка:

1/2 + 1/3 + ... + 1/n ≈ ln(n) + γ

де ln - натуральний логарифм, а γ - стала Єйлера-Маскероні. Для нашого випадку, ми можемо оцінити:

1/2 + 1/3 + ... + 1/2023 ≈ ln(2023) + γ ≈ 7.609

Тепер, ми можемо шукати послідовність дробів в порядку зменшення, поки сума дорівнює або стає меншою за 7.609.

Таким чином, найбільший дріб, який поміститься в нашу послідовність є 1/2. Додавши його до суми залишається знайти послідовність дробів зі знаменниками у діапазоні [3;2023], що в сумі дають 1/2.

Потім додавши другий найбільший дріб, 1/3, має залишитися знайти послідовність дробів зі знаменниками у діапазоні [4;2023], які разом з 1/2 і 1/3 дають суму 1.

І так далі, допоки не буде досягнуте наближення 7.609.

Таким чином, послідовність унікальних раціональних чисел у вигляді 1/x, сума яких дорівнює 1, максимальної довжини має вид:

1/2, 1/3, 1/7, 1/43, 1/1807, 1/3263442

та складається з шести чисел.

Пошаговое объяснение: