В секции художественной гимнастики спортивного клуба 20 девочек, каждая из них в школе увлекается математикой или литературой, а некоторые обоими предметами. Всего математикой увлекается 15 спортсменок, литературой - тоже 15 спортсменок. Все члены секции участвовали в соревнованиях, в которых результаты выступлений оценивались по 20-балльной системе. Оказалось, что средний балл любителей математики - 15,2, а любителей литературы - 14,8. Какое наибольшее значение может принимать средний балл во всей секции?​

Ответ:

Пусть x девочек увлекаются как математикой, так и литературой. Тогда 15-x девочек увлекаются только математикой, а также 15-x девочек увлекаются только литературой. По условию, всего в секции 20 девочек, тогда 2x + (15 - x) + (15 - x) = 20

Решив это уравнение, получим x=5, а значит, 10 девочек увлекаются только математикой, а еще 10 девочек увлекаются только литературой.

Средний балл любителей математики равен 15,2, а любителей литературы - 14,8. Обозначим средний балл только математиков как a, а средний балл только литературов как b. Тогда средний балл всей секции будет равен:

{10a + 10b + 5 \20}{20} = {10a + 10b + 100}{20} = {a+b+10}{2}.

Максимальное значение этого выражения достигается, когда a и b имеют наибольшее возможное значение. Так как средний балл не может превышать 20, то максимальное значение для a и b равно 20. Таким образом, наибольшее возможное значение среднего балла всей секции равно:

{20+20+10}{2}=25.

Таким образом, наибольшее возможное значение среднего балла во всей секции равно 25.