Дан равносторонний треугольник. В нём выбирают случайную точку. Какова вероятность того, что эта точка окажется внутри окружности, вписанной в этот треугольник? Результат округлите до тысячных. Пожалуйста, с подробным решением. За спам, неправильные ответы и т.д. буду кидать жалобы. Заранее спасибо :)

Ответ:

Для решения задачи нам потребуется знать, что радиус вписанной окружности в равностороннем треугольнике равен половине высоты, а также что высота равностороннего треугольника равна произведению стороны на √3/2.

Для начала найдем сторону равностороннего треугольника. Пусть a - длина стороны. Тогда высота равна h=a√3/2, а радиус вписанной окружности равен r=h/2=a√3/4.

Теперь нарисуем круг, вписанный в треугольник, и проведем через него стороны треугольника. В результате мы получим шесть равных частей. Площадь каждой части равна S=(1/6)*S(треугольника), где S(треугольника)=(√3/4)*a^2 - площадь треугольника.

Таким образом, площадь, занятая вписанным кругом, равна S(круга)=S*(4/6)=S(треугольника)/3.

Теперь найдем площадь всего треугольника, образованного сторонами, проходящими через вписанный круг. Пусть O - центр вписанного круга, а A, B и C - точки пересечения сторон треугольника со вписанным кругом. Тогда треугольник OAB - равносторонний, и его площадь равна S(треугольника)/3. Аналогично, площадь треугольника OBC и треугольника OAC также равна S(треугольника)/3.

Таким образом, площадь всего треугольника, образованного сторонами, проходящими через вписанный круг, равна S(треугольника).

Итак, вероятность того, что случайная точка попадет внутрь вписанного круга, равна отношению площади круга к площади треугольника, то есть P=S(круга)/S(треугольника)=1/3√3.

Ответ: вероятность того, что случайная точка, выбранная в равностороннем треугольнике, окажется внутри вписанного в него круга, равна 1/3√3 или примерно 0,192.