Высшая математика1)y'=2e^x-y2)ylnydx+xdy=0, y(1)=23)xy"=y'lny'/x4)1+y'^2=2yy"

Ответ:

1) Метод решения: метод вариации постоянной.

y'=2e^x-y

y'-2e^x=-y

Интегрируем обе части уравнения:

e^(-x)y'-2e^(-x)y=-1

(e^(-x)y)'=-1

e^(-x)y=-x+C1

y=-xe^x+C1e^x, где C1 - произвольная постоянная.

2) Метод решения: метод разделения переменных.

ylnydx+xdy=0

lnydy+xd(lny)=0

Интегрируем обе части уравнения:

∫lnydy+∫xd(lny)=0

ylny-y+C2=0

ylny=C2-y, где С2 - произвольная постоянная.

Подставляем начальное условие y(1)=2:

2ln2=C2-2

C2=2ln2+2

Итак, ylny=2ln2+2-y.

3) Метод решения: метод Эйлера.

xy"=y'lny'/x

Пусть y'=px, тогда y''=p'+p^2.

Тогда получим:

xp'+xp^2=pxln(px)/x

p'+p^2=lnp

Для решения этого дифференциального уравнения воспользуемся методом Эйлера:

p_{n+1}=p_n+h(lnp_n-p_n^2)

y_{n+1}=y_n+hp_n

где h - шаг.

4) Метод решения: метод Лагранжа.

1+y'^2=2yy"

Пусть y'=p, тогда y"=p'.

Тогда получим:

1+p^2=2yp'

dp/dy=2p/(2y-p)

Выделим полные квадраты:

(2y-p)dp/dy=2p

d((2y-p)^2)/dy=4p^2

(2y-p)^2=4p^2y+C3

Подставляем y'=p и получаем:

(1+p^2)^2=C3p^2

Итак, решение имеет вид:

y=cosh(sqrt(C3)t), где t - независимая переменная.