При яких значеннях параметра а, немає розв'язків нерівність sin^4 (x) + cos^4 (x) < a?

Ответ:

За допомогою тригонометричних ідентичностей ми можемо спростити дану нерівність:

sin^4(x) + cos^4(x) < a

= (sin^2(x))^2 + (cos^2(x))^2 < a

= 1/2[(sin^2(x))^2 + (cos^2(x))^2] < a/2

= 1/2[(sin^2(x) + cos^2(x))^2 - 2sin^2(x)cos^2(x)] < a/2

= 1/2 - 1/2sin^2(2x) < a/2

= sin^2(2x) > 1 - a

Тепер ми можемо побачити, що нерівність sin^2(2x) > 1 - a не має розв'язків, коли права частина менше або дорівнює нулю. Тобто, ми маємо:

1 - a ≤ 0

a ≥ 1

Отже, нерівність не має розв'язків при a ≥ 1.