Знацти всі значення параметра а при Яких рівняння 36^(х) - (8а-1)×6^(х) +16а^(2) - 4а - 2= 0 має єдиний корінь.

Відповідь:

Позначимо 6^x = t. Тоді рівняння можна переписати у вигляді:

36t - (8a - 1)t^2 + 16a^2 - 4a - 2 = 0

Припустимо, що це рівняння має єдиний корінь. Оскільки квадратне рівняння має єдиний корінь тоді і тільки тоді, коли дискримінант дорівнює нулю, то:

D = (-8a + 1)^2 - 4 * 36 * (16a^2 - 4a - 2) = 0

Розв'язуємо це рівняння відносно a:

64a^2 - 32a + 145/9 = 0

D = 32^2 - 4 * 64 * 145/9 < 0

Отже, рівняння не має розв'язків при будь-якому значенні параметра a. Відповідь: немає значень параметра a, при яких рівняння має єдиний корінь.

Покрокове пояснення:

Для того, щоб рівняння мало єдиний корінь, дискримінант повинен дорівнювати нулю:

D = 0

(8a - 1)² - 4(36 - a)(16a² - 4a - 2) = 0

Розкриваємо дужки та спрощуємо вираз:

64a² - 16a + 1 - (2304a³ - 864a² - 144a + 72) = 0

2304a³ - 736a² + 160a - 71 = 0

Тепер можна розв'язати кубічне рівняння, наприклад, за допомогою методу Ньютона-Рафсона. Або ж, зауваживши, що a = 1 є розв'язком рівняння, можемо поділити коефіцієнти на (a - 1) за допомогою ділення з остачею і отримаємо квадратне рівняння:

(2304a³ - 736a² + 160a - 71) / (a - 1) = 0

2304a² + 2168a + 2137 = 0

Це квадратне рівняння не має розв'язків у дійсних числах, тому рівняння 36^x - (8a - 1)6^x + 16a^2 - 4a - 2 = 0 має єдиний корінь лише при a = 1.

Отже, відповідь: a = 1. Будь ласка, встановіть найкращу відповідь.