Периметр треугольника равен 12, а радиус вписанной окружности равен 1. Найдите проекцию меньшего катета на гипотенузу

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Пусть a, b, c - длины сторон треугольника, где a и b - катеты, c - гипотенуза. Также пусть r - радиус вписанной окружности, а p - полупериметр треугольника. Тогда:

p = (a + b + c) / 2

Зная периметр треугольника, можно выразить p:

12 = a + b + c

p = 6

Длина вписанной окружности равна 2πr, где π - число пи. Поэтому:

2πr = a + b + c

Или:

c = 2πr - a - b

Также известно, что радиус вписанной окружности связан с площадью треугольника S следующим образом:

S = p * r

Подставляя выражение для poluperymetra и радиуса, получаем:

S = 6 * 1 = 6

Поскольку S = a * b / 2, то:

ab = 12

Известно, что меньший катет b - это проекция на гипотенузу, которая находится на расстоянии r от вершины. Обозначим эту проекцию через x.

Тогда:

x * (c - r) = S

x * (c - 1) = 6

x = 6 / (c - 1)

Подставляя c = 2πr - a - b, получаем:

x = 6 / (2πr - a - 1 - b)

x = 6 / (2π - a/b - 1)

Осталось найти a/b.

Пользуясь аналогичными треугольниками, можем получить следующее соотношение:

a/b = (p - c) / r

Подставляя значения для p, c и r, получаем:

a/b = (6 - 2π + a/b) / 1

2a/b = 6 - 2π

a/b = (6 - 2π) / 2 = 3 - π

Теперь можем выразить x через a/b:

x = 6 / (2π - (3 - π) - 1)

x = 6