(a) Докажите, что существует четырехзначное число, состоящее из единиц и двоек, кото- рое делится на 16. (b) Докажите, что существует пятизначное число, состоящее из единиц и двоек, которое делится на 32. (c) Докажите, что существует десятизначное число, состоящее из единиц и двоек, которое делится на 1024.

(a) Чтобы число было кратно 16, оно должно быть кратно 2^4. Заметим, что последние две цифры числа должны быть кратны 4 (так как 100 делится на 4). Поскольку мы можем использовать только единицы и двойки, мы можем составить только следующие комбинации для последних двух цифр: 12, 24, 32, 44, 52, 64, 72, 84 и 92. Из этих комбинаций только 64 и 72 делятся на 16. Таким образом, мы можем составить число 2164 или 2172, которые оба делятся на 16.

(b) Чтобы число было кратно 32, оно должно быть кратно 2^5. Последние две цифры числа должны быть кратны 4 (как в предыдущей задаче), а третья с конца - кратна 8. Мы можем использовать только единицы и двойки для создания такого числа. Поскольку третья цифра с конца должна быть кратна 8, она может быть только равна 8. Таким образом, мы можем составить следующие комбинации для последних трех цифр: 208, 288, 328, 408, 488, 528, 608, 688, 728, 808, 888, 928. Из этих комбинаций только 608, 688 и 728 делятся на 32. Таким образом, мы можем составить число 22128, 22288 или 22728, которые все делятся на 32.

(c) Чтобы число было кратно 1024, оно должно быть кратно 2^10. Последние две цифры должны быть кратны 4, следующие две - кратны 16, а следующие три - кратны 8. Мы можем использовать только единицы и двойки для создания такого числа. Поскольку третья цифра с конца должна быть кратна 8, она может быть только равна 8. Аналогично, пятая цифра с конца должна быть кратна 16 и может быть только равна 6 или 2. Таким образом, мы можем составить следующие комбинации для последних семи цифр: 2008000, 2016000, 2024000, 2068000 и 2084000. Все эти числа делятся на 1024.