Знайдіть об'єм конуса, твірна якого дорівнює 8 см і утворює кут 30° з його висотою!!!!

Ответ:

За властивостями конуса, твірна від вершини конуса до точки на колі основи перпендикулярна до площини основи. Тобто, якщо ми позначимо через $h$ висоту конуса, а через $r$ - радіус основи, то з питагорової теореми маємо:

$$

h^2 = r^2 + 8^2.

$$

Також, з означення конуса, можемо записати формулу для його об'єму:

$$

V = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h.

$$

Залишилося тільки виконати заміни та обчислити:

$$

h = \sqrt{r^2 + 8^2}, \quad V = \dfrac{1}{3} \pi r^2 \sqrt{r^2 + 8^2}.

$$

За умовою відомо, що твірна (основа підстави) утворює кут 30° з висотою конуса. Отже, можна скористатися рівністю тангенсу кута:

$$

\tan{30^\circ} = \dfrac{\text{протилежна сторона}}{\text{прилегла сторона}} = \dfrac{8}{r},

$$

звідки $r = 8/\tan{30^\circ} = 8/\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{24}{\sqrt{3}}$. Підставляємо знайдене значення $r$ у формулу для об'єму:

$$

V = \dfrac{1}{3} \pi \cdot \left(\dfrac{24}{\sqrt{3}}\right)^2 \cdot \sqrt{\left(\dfrac{24}{\sqrt{3}}\right)^2 + 8^2} \approx 817.0 \text{ см}^3.

$$

Отже, об'єм конуса близько 817 кубічних сантиметрів.