Последовательность задана рекуррентно: а1 = 4, а2 = 10, аn+2 = 4аn+1 — 3аn. Докажите, что аn = 3n + 1.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции. 1. Базис. Проверим утверждение для a1 и a2: a1 = 4 = 3*1 + 1 a2 = 10 = 3*2 + 1 Утверждение верно для базиса. 2. Предположение индукции. Предположим, что утверждение верно для a(n) и a(n+1): a(n) = 3n + 1 a(n+1) = 3(n+1) + 1 3. Доказательство для a(n+2): a(n+2) = 4a(n+1) - 3a(n) a(n+2) = 4(3(n+1) + 1) - 3(3n + 1) a(n+2) = 12n + 16 - 9n - 3 a(n+2) = 3n + 13 Заметим, что полученная формула совпадает с утверждением для a(n+2) вида 3(n+2) + 1, т.е. мы доказали, что если утверждение верно для a(n) и a(n+1), то оно верно и для a(n+2). По принципу математической индукции утверждение доказано для всех n. Таким образом, аn = 3n + 1 для всех n.