Написати формули та розв'язання 100 балів 1. З міста А в місто В ведуть 7 доріг, а з міста В в місто С – 5 доріг. Скількома способами можна потрапити з міста А в місто С через місто В? 2. Група студентів вивчає 6 дисциплін. Скількома способами можна скласти розклад занять в середу, якщо в цей день має бути: а) 3 різних заняття; б) не більше 3 різних занять? 3. На зборах присутні 29 осіб. Їм потрібно обрати голову зборів, його заступника і 4 секретарів. Скількома способами можна це зробити? 4. Скільки різних п’ятизначних чисел можна записати, використовуючи цифри 2, 4, 6? 5. У бабусі 2 яблука, 3 банана і 4 апельсини. Кожен день протягом 9 днів вона видає онукові по одному фрукту. Скількома способами вона може це зробити?

1. За відомою формулою для обчислення кількості комбінацій з повтореннями, кількість способів потрапити з міста А в місто С через місто В дорівнює добутку кількості доріг, що ведуть з А до В (7), і кількості доріг, що ведуть з В до С (5): 7 * 5 = 35.2.a) За відомою формулою для обчислення кількості перестановок без повторень, кількість способів скласти розклад з 6 дисциплін у середу з обранням будь-яких 3 дисциплін дорівнює 6P3 = 6!/(6-3)! = 654 = 120.

b) Кількість способів скласти розклад з не більше 3 різних занять дорівнює сумі кількостей способів скласти розклад з 1, 2 або 3 занять. З 1 заняттям можна скласти розклад 6 способами (вибір однієї з 6 дисциплін), з 2 заняттями - 65 = 30 способами (вибір двох дисциплін з 6, де порядок не важливий), з 3 заняттями - 654/(32*1) = 60 способами (вибір трьох дисциплін з 6, де порядок не важливий). Отже, кількість способів скласти розклад з не більше 3 різних занять дорівнює 6 + 30 + 60 = 96.

3. За відомою формулою для обчислення кількості перестановок з повтореннями, кількість способів вибрати голову зборів, його заступника і 4 секретарів дорівнює добутку кількості кандидатів на кожну посаду: 2928272625 = 23764800.

4. Щоб знайти кількість різних п'ятизначних чисел, які можна записати, використовуючи цифри 2, 4, 6, спочатку знайдемо кількість можливих цифр на кожній позиції. На першій позиції може бути будь-яка з трьох цифр (2, 4 або 6), тому їх кількість становить 3. Аналогічно, на другій, третій, четвертій і п'ятій позиціях може бути будь-яка з трьох цифр. Тому кількість можливих чисел буде:

3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243

Отже, можна записати 243 різних п'ятизначних числа, використовуючи цифри 2, 4, 6.5. Бабуся може вибрати будь-який з 2 яблук, будь-який з 3 бананів або будь-який з 4 апельсинів, тому кількість способів вибору фрукту для кожного з 9 днів складає:

2 + 3 + 4 = 9

Отже, бабуся може вибрати фрукт для свого онука на кожен день протягом 9 днів з 9 можливих способів. Кількість способів вибору фрукту для 9 днів буде:

9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9 = 387,420,489

Отже, бабуся може видати своєму онукові фрукти 387,420,489 різних способів.