Знайти інтеграл dx x А2 + x2

Ответ:

Розглянемо інтеграл:

∫ x dx / (A^2 + x^2)

Зробимо заміну змінної x = A tan(t), тоді dx = A sec^2(t) dt. Підставляємо ці вирази:

∫ A tan(t) A sec^2(t) dt / [ A^2 + A^2 tan^2(t) ]

Скорочуємо A на виразі:

∫ tan(t) sec^2(t) dt / (1 + tan^2(t))

Застосуємо формулу підстановки з sin(t) = 1/cos(t) та dt = cos(t) dx:

∫ sin(t) / cos(t) * dx / (1 + sin^2(t))

Зробимо заміну змінної z = sin(t), тоді dz = cos(t) dt та ми отримаємо:

∫ dz / (1 + z^2)

Розв'язуємо інтеграл:

arctan(z) + C = arctan(sin(t)) + C

Підставляємо назад значення t = arctan(x/A) :

arctan(x/A) + C

Отже, остаточний результат:

∫ dx x / (A^2 + x^2) = arctan(x/A) + C