1 На сколько надо уменьшить число 100, чтобы при делении полученного числа на 5 и на 7 в остатке получалось 2 и неполное частное при первом делении было бы на 4 больше неполного частного при втором делении?а) Что целесообразно обозначить как неизвестное, чтобы решить задачу? в) Решите, составив систему уравнений.c) Проверьте ответ.​

Ответ:

Пошаговое объяснение:

а) Обозначим неизвестное число, которое нужно вычесть из 100, как $x$.

б) Из условия задачи следует составить систему уравнений.

Первое условие говорит нам, что $(100 - x)$ даёт остаток 2 при делении на 5 и остаток 2 при делении на 7. Мы можем записать это как:

(100 - x) \equiv 2 \pmod{5}(100−x)≡2(mod5)

(100 - x) \equiv 2 \pmod{7}(100−x)≡2(mod7)

Второе условие говорит нам, что неполное частное при делении $(100 - x)$ на 5 на 4 больше неполного частного при делении $(100 - x)$ на 7. Мы можем записать это как:

\left\lfloor \frac{100 - x}{5} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{100 - x}{7} \right\rfloor + 4⌊

5

100−x

​

⌋=⌊

7

100−x

​

⌋+4

где $\left\lfloor \frac{a}{b} \right\rfloor$ обозначает неполное частное от деления $a$ на $b$.

Теперь мы можем решить эту систему уравнений.

Из первого уравнения мы можем записать:

(100 - x) = 5n_1 + 2(100−x)=5n

1

​

+2

для некоторого целого числа $n_1$. Из второго уравнения мы можем записать:

(100 - x) = 7n_2 + 2(100−x)=7n

2

​

+2

для некоторого целого числа $n_2$.

Теперь мы можем выразить $(100 - x)$ через $n_1$ и $n_2$:

5n_1 + 2 = 7n_2 + 25n

1

​

+2=7n

2

​

+2

откуда:

5n_1 = 7n_25n

1

​

=7n

2

​

Так как 5 и 7 взаимно простые числа, мы знаем, что $n_1$ должно делиться на 7, а $n_2$ должно делиться на 5. То есть, мы можем записать:

n_1 = 7kn

1

​

=7k

n_2 = 5mn

2

​

=5m

для некоторых целых чисел $k$ и $m$. Тогда мы можем выразить $(100 - x)$ через $k$ и $m$:

5n_1 + 2 = 5(7k) + 2 = 35k + 25n

1

​

+2=5(7k)+2=35k+2

7n_2 + 2 = 7(5m) + 2 = 35m + 27n

2

​

+2=7(5m)+2=35m+2

Так как $\left\lfloor \frac{100 - x}{5} \right\rfloor$ больше $\left\lfloor \frac{100 - x}{7} \right\rfloor$ на 4, мы можем записать:

\left\lfloor \frac{35k + 2}{5} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{35m + 2}{7} \right\rfloor + 4⌊

5

35k+2

​

⌋=⌊

7

35m+2

​

⌋+4

Это можно переп