Обчислити площі фігур, обмежених лініями y=cos^2x-sin^2x; x=0, y=0, x=π/4

Почнемо з побудови графіку функції y=cos^2x-sin^2x:

Площі фігур обмежених цим графіком і лініями x=0, y=0 та x=π/4 можна знайти за допомогою інтегралів.

Перша фігура обмежена віссю x, графіком функції та вертикальною лінією x=0. Її площа обчислюється за формулою:

A = ∫[0,π/4] (cos^2x-sin^2x) dx

A = [sin(2x)/2 - x] [0,π/4]

A = (sin(π/2) - π/4)/2 - (sin(0) - 0)/2

A = (1 - π/4)/2

A = (8 - π)/16

Отже, площа першої фігури дорівнює (8 - π)/16.

Друга фігура обмежена лініями x=0, y=0, графіком функції та вертикальною лінією x=π/4. Її площа обчислюється за формулою:

B = ∫[0,π/4] cos^2x dx

B = [x/2 + sin(2x)/4] [0,π/4]

B = (π/8 + sin(π/2)/4) - (0/2 + sin(0)/4)

B = π/8 + 1/4

B = (2π + 2)/8

B = (π/4 + 1/2)

Отже, площа другої фігури дорівнює (π/4 + 1/2).

Відповідь: площі фігур, обмежених лініями y=cos^2x-sin^2x, x=0, y=0, x=π/4 дорівнюють відповідно (8 - π)/16 та (π/4 + 1/2).