Помогите решить срочно Задано координати вершин трикутника АВС. A (-2; 1), B (14; -12), C (8; 6) Знайти: 1) рівняння сторін АВ, АС, ВС, та їх кутові коефіцієнти 2) рівняння висоти СD та її довжину; 3) рівняння медіани АЕ та координати точки Р перетину цієї медіани з висотою CD; 4) рівняння прямої PL, що проходить через точку P паралельно до сторони AB; 5) рівняння та довжину перпендикуляра (висоти) BN, який проведено з вершини В на медіану AE; 6) координати точки M, розташованої симетрично до точки A відносно прямої CD; 7) побудувати на міліметровому папері (формат A4) трикутник ABC та знайдені його елементи в системі координат xOy, взявши за одиницю масштабу 0,5 см

Ответ:

1) Рівняння сторін можна знайти за формулою відстані між двома точками:

AB: √[(14-(-2))^2 + (-12-1)^2] = √(256+169) = √425

AC: √[(8-(-2))^2 + (6-1)^2] = √(100+25) = √125

BC: √[(14-8)^2 + (-12-6)^2] = √(36+324) = √360

Кутові коефіцієнти можна знайти за формулою:

AB: k_AB = (y_B - y_A)/(x_B - x_A) = (-12 - 1)/(14 - (-2)) = -13/16

AC: k_AC = (y_C - y_A)/(x_C - x_A) = (6 - 1)/(8 - (-2)) = 5/5 = 1

BC: k_BC = (y_C - y_B)/(x_C - x_B) = (6 - (-12))/(8 - 14) = 18/-6 = -3

2) Висоту СD можна провести з вершини С перпендикулярно до сторони AB. Для цього потрібно знайти кут між стороною AB та вектором СA.

AB: k_AB = -13/16 => кут між AB та осі x: α_AB = arctg(-13/16)

Вектор СA: AC(x) = 8 - (-2) = 10, AC(y) = 6 - 1 = 5 => кут між СA та осі x: α_CA = arctg(5/10) = arctg(1/2)

Кут між AB та вектором СA: β = |α_AB - α_CA| = |arctg(-13/16) - arctg(1/2)| ≈ 0.649 рад

Тоді довжина висоти CD може бути знайдена за формулою:

h_CD = AC * sin(β) ≈ 2.31

Рівняння висоти CD можна записати у вигляді:

x cos(β) - y sin(β) = x_0 cos(β) - y_0 sin(β), де (x_0, y_0) - координати вершини С

3) Медіана АЕ проходить через точку D - середину сторони BC. Тоді координати точки D можна знайти як середнє арифметичне координат вершин В та С:

D(x) = (B(x) + C(x))/2 = (14 + 8)/2 = 11

D(y) = (B(y) + C(y))/2 = (-12 + 6)/2 = -3

Рівняння медіани АЕ можна записати у вигляді:

y = k_AE * (x - x_A) + y_A, де k_AE - кутовий коефіцієнт медіани, який можна знайти за формулою:

k_AE = (y_D - y_A)/(x_D - x_A) = (-3 - 1)/(11 - (-2)) = -4/13

Точку перетину медіани та висоти можна знайти шляхом розв'язання системи рівнянь медіани та висоти:

x cos(β) - y sin(β) = x_0 cos(β) - y_0 sin(β) (рівняння висоти)

y = k_AE * (x - x_A) + y_A (рівняння медіани)

Розв'язавши систему, отримаємо координати точки Р.

4) Пряма PL паралельна до сторони AB, тому кутовий коефіцієнт прямої PL дорівнює кутовому коефіцієнту сторони AB:

k_PL = k_AB = -13/16

Точку P можна знайти як перетин прямої PL та медіани АЕ. Рівняння прямої PL можна записати у вигляді:

y = k_PL * (x - x_P) + y_P, де (x_P, y_P) - координати точки P.

5) Медіана АЕ перетинається з висотою BN в точці N - середині сторони AC. Координати точки N можна знайти як середнє арифметичне координат вершин А та С:

N(x) = (A(x) + C(x))/2 = (-2 + 8)/2 = 3

N(y) = (A(y) + C(y))/2 = (1 + 6)/2 = 3.5

Рівняння медіани АЕ було знайдено у пункті 3. Тоді рівняння прямої BN можна записати у вигляді:

y = k_BN * (x - x_B) + y_B, де k_BN - кутовий коефіцієнт прямої BN, який можна знайти за формулою:

k_BN = (y_N - y_B)/(x_N - x_B) = (3.5 - (-12))/(3 - 14) = 1.25

Довжину висоти BN можна знайти за формулою відстані між точками B та перетину медіани АЕ та висоти BN:

BN = √[(x_B - x_N)^2 + (y_B - y_N)^2] ≈ 9.23

6) Точку М можна знайти шляхом симетрії точки А відносно прямої CD. Для цього потрібно знайти кут між прямою CD та осі x:

CD: x cos(β) - y sin(β) = x_0 cos(β) - y_0 sin(β) (рівняння висоти)

Кут між CD та осі x: γ = arctg(sin(β)/cos(β)) = arctg(-2)

Тоді координати точки М можна знайти за формулами симетрії:

M(x) = x_A + 2 * d * cos(γ)

M(y) = y_A + 2 * d * sin(γ), де d - відстань між точкою А та прямою CD, яку можна знайти за формулою:

d = (x_A cos(β) - y_A sin(β) - x_0 cos(β) + y_0 sin(β)) / √(cos^2(γ) + sin^2(γ))

7) Трикутник ABC та його елементи можна побудувати на міліметровому папері, взявши за одиницю масштабу 0,5 см. Для цього потрібно намалювати систему координат xOy, позначити на ній точки A, B та C, а потім з'єднати їх лініями. Для побудови висоти CD потрібно знайти середину сторони AB та провести перпендикуляр до неї через точку С. Для побудови медіани АЕ потрібно знайти середину сторони BC та провести лінію через неї та вершину А. Для побудови висоти BN потрібно знайти середину сторони AC та провести перпендикуляр до неї через точку B. Для побудови точки М потрібно спочатку знайти пряму CD та її точку перетину з віссю Ох, а потім провести симетричну точку А відносно цієї прямої.