у"-2у'+у=х^3 надо решить

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Мы можем решить его с помощью метода неопределенных коэффициентов.

Шаг 1: Найдите общее решение однородного уравнения

Уравнение однородно, когда правая часть равна нулю. Таким образом, мы начнем с решения уравнения:

у" - 2у' + у = 0

Характеристическое уравнение для этого однородного уравнения имеет вид:

r^2 - 2r + 1 = 0

Корни этого уравнения:

r1 = r2 = 1

Таким образом, общее решение однородного уравнения:

у(х) = c1 e^x + c2 x e^x

где c1 и c2 - произвольные постоянные.

Шаг 2: Найдите частное решение неоднородного уравнения

Чтобы найти частное решение неоднородного уравнения, мы используем метод неопределенных коэффициентов. Мы предполагаем, что частное решение имеет вид:

у(х) = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D

где A, B, C и D - неизвестные коэффициенты, которые мы должны определить.

Теперь мы найдем производные для этой функции и подставим их в исходное уравнение:

у' = 3Ax^2 + 2Bx + C

у'' = 6Ax + 2B

Теперь мы подставляем это обратно в исходное уравнение:

6Ax + 2B - 2(3Ax^2 + 2Bx + C) + (Ax^3 + Bx^2 + Cx + D) = x^3

Упрощая это выражение, мы получим:

Ax^3 + (-6A + B)x^2 + (6A - 4B + C)x + (2B - 2C + D) = x^3

Таким образом, мы имеем систему уравнений:

A = 1

-6A + B = 0

6A - 4B + C = 0

2B - 2C + D = 0

Решив эту систему уравнений, мы получаем:

A = 1, B = 6, C = 12, D = -8

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения:

у(х) = x^3 + 6x^2 + 12x - 8

Шаг 3: Найдите общее решение неоднородного уравнения

Общее решение неоднородного уравнения состоит из общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

у(х) = c1 e^x + c2 x e^x + x^3 + 6x^2 + 12x - 8

где c1 и c2 - произвольные постоянные.

Таким образом, мы получили полное решение данного линейного дифференциального уравнения второго порядка.