Теория вероятности 1 курс

Вероятность того, что в n испытаниях число успехов будет не меньше k1 и не больше k2, можно вычислить по формуле Бернулли: P1 = Σ C(n, i) * p^i * (1-p)^(n-i), где сумма берется от i=k1 до i=k2, а C(n, i) - число сочетаний из n по i. Подставляя исходные данные, получаем: P1 = Σ C(1600, i) * 0.25^i * 0.75^(1600-i) для i от 380 до 420. Данная сумма может быть вычислена численно с помощью компьютера или специальных таблиц вероятностей распределения Бернулли. Вероятность того, что относительная частота успеха будет отличаться от его вероятности не больше, чем на ε, можно приближенно оценить с помощью неравенства Чебышева: P2 = P(|S/n-p| ≤ ε) ≥ 1 - D(S)/nε^2, где S - число успехов в n испытаниях, D(S) = np(1-p) - дисперсия случайной величины S. Подставляя исходные данные, получаем: P2 ≥ 1 - 16000.250.75/(1600*0.03^2) ≈ 0.997 Таким образом, вероятность того, что относительная частота успеха отклонится от его вероятности более, чем на 0.03, меньше 0.003. Минимальное число опытов n, при котором относительная частота успеха отличается от его вероятности не больше, чем на ε с вероятностью больше 0.95, можно выразить из неравенства Чебышева: 1 - D(S)/nε^2 > 0.95 Отсюда получаем: n > D(S)/(0.05ε^2) Подставляя исходные данные, получаем: n > 16000.250.75/(0.05*0.03^2) ≈ 277778 Таким образом, минимальное число опытов n должно быть больше 277778, чтобы относительная частота успеха отличалась от его вероятности не больше, чем на 0.03, с вероятностью больше 0.95.