Математика. Найти пары чисел

Пусть числа равны x и y. Тогда по условию задачи у нас есть два уравнения: xy = x + y 4xy = x^2 + 2xy + y^2 Первое уравнение можно переписать в виде: xy - x - y = 0 Применим к этому уравнению метод Виета для квадратных уравнений с двумя корнями: x и y являются корнями уравнения t^2 - t(x+y) + xy = 0 Отсюда получаем, что x и y являются корнями уравнения: t^2 - t(x+y) + xy = 0 t^2 - t(x+y) + xy = 0 t^2 - t(x+y) + (x+y) = 0 (t-x)(t-y) = 0 Отсюда следует, что либо x = t, либо y = t. Если x = t, то из первого уравнения получаем: tx = t + x x(t-1) = t x = t/(t-1) Аналогично, если y = t, то из первого уравнения получаем: ty = t + y y(t-1) = t y = t/(t-1) Таким образом, мы получили, что x и y равны между собой и равны золотому сечению (φ = (1+√5)/2) и обратному золотому сечению (1/φ = (√5-1)/2). Проверим, что эти значения удовлетворяют второму уравнению: 4xy = 4φ^2 = 2(3+√5) x^2 + 2xy + y^2 = (φ^2 + 2φ^2 + 1/φ^2) = (5 + 2√5) 2(3+√5) = 5 + 2√5 Таким образом, мы получили две пары чисел: (φ, φ) и (1/φ, 1/φ).

Пусть первое число равно x, а второе число равно y.Тогда по условию задачи имеем систему уравнений:xy = x + y (1)4xy = x^2 + y^2 (2)Из уравнения (1) следует, что y = x / (x - 1), если x ≠ 1, иначе y - любое число.Подставим y из (1) в уравнение (2):4x(x/(x-1)) = x^2 + (x/(x-1))^2После упрощения получим:x^4 - 10x^3 + 5x^2 + 4x = 0x(x-1)(x^2-9x+4) = 0Решая квадратное уравнение, получим два корня x1 = 1 и x2 = 8.Если x = 1, то по уравнению (1) получаем, что y - любое число.Если x = 8, то по уравнению (1) получаем, что y = 8.Таким образом, все пары чисел, удовлетворяющих условию задачи, это (1, y), где y - любое число, и (8, 8).