ЕГЭ Математика Профиль 17 задание

Перепишем неравенство в виде квадратного трёхчлена относительно x: (8x^2 - 24x)((4^x) + 1) - 5ax^2 + 15ax + 8(a-6)((4^x) + 1) - 5a(a-6) ≤ 0 8x^2(4^x) - 8x^2 - 24x(4^x) + 24x - 5ax^2 + 15ax + 8(4^x)(a-6) - 8(a-6) - 5a(a-6) ≤ 0 Вынесем общий множитель 8x^2 из первых двух слагаемых и 8 из последних двух слагаемых: 8x^2((4^x) - 1) - 24x(4^x - 1) + 8(a-6)((4^x) - 1) - 5a(x^2 - 3x + (3/5)) ≤ 0 8(x^2 - 3x + (3/5))(4^x - 1) + 8(a-6)(4^x - 1) - 5a(x^2 - 3x + (3/5)) ≤ 0 (8(a-6) - 5a)(x^2 - 3x + (3/5)) + 8(a-6)(4^x - 1) ≤ 0 (3a - 48)(x^2 - 3x + (3/5)) - 8(6 - a)(1 - 4^x) ≥ 0 Теперь заметим, что выражение (x^2 - 3x + (3/5)) является положительным на промежутке [-1; 0), так как его дискриминант равен 9/5, что больше нуля, а его коэффициент при x^2 равен 1, что также больше нуля. Следовательно, неравенство будет выполнено, если выражение (3a - 48) - 8(6 - a)(1 - 4^x) также будет неотрицательным на этом промежутке. Заметим, что (1 - 4^x) принимает значения от 0 до -1 на промежутке [-1; 0), поэтому выражение (3a - 48) - 8(6 - a)(1 - 4^x) принимает значения от 3a - 48 до 11a - 96 на этом промежутке. Таким образом, неравенство будет выполнено, если 3a - 48 ≥ 0 или 11a - 96 ≤ 0: 3a ≥ 48 a ≥ 16 и 11a ≤ 96 a ≤ 96/11 Таким образом, неравенство будет выполнено для всех значений a из промежутка [16; 96/11].