Теория вероятности 1 курс

Решение: 1) Вероятность безотказной работы изделия в течение 10000 часов равна вероятности того, что время работы стеклоочистителя больше 10000 часов, то есть P(X>10000). Используем известное свойство гамма-распределения, что E(X)=k/λ, Var(X)=k/λ^2, чтобы привести распределение к экспоненциальному: P(X>x) = integral[λ^k*(k^(k-1))*e^(-λx)/Γ(k), x, infinity] = integral[λ^k*(k^(k-1))*e^(-λx)*λ/λ/Γ(k), x, infinity] = integral[λ^(k+1)*(k^(k-1))/Γ(k)*e^(-λx), x, infinity] = Γ(k,kλ)/Γ(k) = Q(k, λx), где Γ(k,x) - верхний неполный гамма-интеграл, Q(k,x) - вероятность безотказной работы экспоненциального распределения с параметром λ. Подставляем значения параметров k=3 и λ=1,5*10^(-4) 1/час: P(X>10000) = Q(3, 1,5*10000) = e^(-1,5*10000*3) = 1,5228 * 10^(-65). Ответ: 1,5228 * 10^(-65). 2) Вероятность, что время работы стеклоочистителя составит менее t=5000 час, равна P(X<t). Используем свойство гамма-распределения, что X/λ имеет распределение Эрланга с параметрами k и 1. Поэтому P(X<t) = Γ(k, tλ)/Γ(k). Подставляем значения параметров k=3 и λ=1,5*10^(-4) 1/час: P(X<5000) = Γ(3, 5000*1,5*10^(-4))/Γ(3) = 0,989 Ответ: 0,989. 3) Средняя наработка до первого отказа определяется как математическое ожидание времени работы до отказа, то есть E(X). Из свойств гамма-распределения E(X) = k/λ. Подставляем значения параметров k=3 и λ=1,5*10^(-4) 1/час: E(X) = k/λ = 3/(1,5*10^(-4)) = 20000 час. Ответ: 20000 час.