Дана функция y=f(x) = -4x² -12x +40

1) Найти: f(0), f(1), f(-1).

2)Написать уравнение оси симметрии параболы.

3)Определить координаты всех точек пересечения параболы с осью OX.

4)Найти все x, при которых y>0.

5)Указать промежутки монотонности функции.

2. Построить графики заданных функций:

1) y= -(x-2)²+4 2) y=x²+4x+4/x+2

1) Найти f(0), f(1), f(-1):

f(0) = -4*0^2 - 12*0 + 40 = 40

f(1) = -4*1^2 - 12*1 + 40 = 24

f(-1) = -4*(-1)^2 - 12*(-1) + 40 = 24

2) Написать уравнение оси симметрии параболы:

Ось симметрии параболы проходит через ее вершину. Координаты вершины параболы можно найти по формуле x = -b/2a, где a и b - коэффициенты при степенях x в уравнении параболы. В данном случае a = -4, b = -12, поэтому x = 12/(-2*4) = -1.5. Подставляя этот x в уравнение параболы, находим соответствующее значение y: f(-1.5) = -4*(-1.5)^2 - 12*(-1.5) + 40 = 43. Ответ: уравнение оси симметрии параболы x = -1.5, y = 43.

3) Определить координаты всех точек пересечения параболы с осью OX:

Для этого нужно решить уравнение f(x) = 0:

-4x² - 12x + 40 = 0

Делим обе части на -4:

x² + 3x - 10 = 0

Решаем это квадратное уравнение:

x1 = -5, x2 = 2

Ответ: координаты точек пересечения параболы с осью OX: (-5, 0) и (2, 0).

4) Найти все x, при которых y > 0:

Для этого нужно решить неравенство f(x) > 0:

-4x² - 12x + 40 > 0

Делим обе части на -4 и меняем знак неравенства:

x² + 3x - 10 < 0

Решаем это квадратное неравенство:

(x - 2)(x + 5) < 0

Корни этого неравенства -5 и 2. Построим таблицу знаков:

-5 2

----|----|----

(x-2)| - | + |

----|----|----

(x+5)| - | - |

----|----|----

<0 | + | - |

Ответ: решением неравенства является множество x, лежащее между корнями квадратного уравнения: -5 < x < 2.

5) Указать промежутки монотонности функции:

Для этого нужно найти производную функции f(x) и выяснить знак этой производной на каждом интервале между точками экстремума:

f'(x) = -8x - 12

f'(x) = 0 при x = -3/2

Построим таблицу знаков:

-∞ -3/2 +∞

----|-----|----|----

f' | - | 0 | + |

----|-----|----|----

f | + | 43 | - |

Ответ: функция монотонно убывает на интервале (-∞, -3/2) и монотонно возрастает на интервале (-3/2, +∞).

2. Построить графики заданных функций:

1) y = -(x - 2)² + 4

Это парабола с вершиной в точке (2, 4) и осью