Подробно с пошаговым решением объяснить решение с теорией​

Сделаем замену \sqrt[6]{x}=u\Rightarrow \mathrm{d}x=6u^5\mathrm{d}u, тогда наш интеграл равен

\int{\dfrac{x+\sqrt[{3}]{{x}^{2}}+\sqrt[{6}]{x}}{\left(\sqrt[{3}]{x}+1\right)\,x}}{\;\mathrm{d}x}=\int{\dfrac{6\,\left({u}^{6}+{u}^{4}+u\right)}{u\,\left({u}^{2}+1\right)}}{\;\mathrm{d}u}=6\int{\dfrac{{u}^{5}+{u}^{3}+1}{{u}^{2}+1}}{\;\mathrm{d}u}

Теперь воспользуемся одним трюком

\int \frac{u^5+u^3+1}{u^2+1}\mathrm{d}u=\int \frac{u^3\left ( u^2+1 \right )+1}{u^2+1}\mathrm{d}u=\int \left ( \frac{u^3\left ( u^2+1 \right )}{u^2+1}+\frac{1}{u^2+1} \right )\mathrm{d}u=6\int \left ( u^3+\frac{1}{u^2+1} \right )\mathrm{d}u

Мы получили табличные интегралы, тогда

6\int \left ( u^3+\frac{1}{u^2+1} \right )\mathrm{d}u=6\,\mathrm{arctg}\left(u\right)+\dfrac{3\,{u}^{4}}{2}

Обратная замена

\dfrac{3}{2}\sqrt[{3}]{{x}^{2}}+6\,\mathrm{arctg}\left(\sqrt[{6}]{x}\right)+С