cos²⁰¹¹(π/2 - 2x) + cos²⁰¹²(π/2 + 2x) = 2 Найти наименьший положительный корень в градусах

Ответ:

45° или π/4

Пошаговое объяснение:

Вынесем cos^2011(π/2-2x) и получим:

cos^2011(π/2-2x) * (1 + cos^2011(π/2-2x)) = 2

Пусть cos^2011(π/2-2x) = t, тогда t принимает значения от -1 до 1 включительно.

t×(1+t)=2

Так как t принадлежит от -1 до 1 вкл., то ед. возможным решением будет t = 1 (т.к. при остальных значениях t(t+1) меньше 2).

Обр замена:

cos^2011(π/2-2x) = 1, равносильно π/2 -2x = 2πk (k - целое)

равносильно x = π/4 - πκ (κ - целое число).

Подставив к = 0 (при меньших икс будет отрицательным) получим x = π/4 или x = 45°.

{{\cos }^{2011}}\left( \cfrac{\pi }{2}-2x \right)\le 1,{{\cos }^{2012}}\left( \cfrac{\pi }{2}+2x \right)\le 12={{\cos }^{2011}}\left( \cfrac{\pi }{2}-2x \right)+{{\cos }^{2012}}\left( \cfrac{\pi }{2}+2x \right)\le 2{{\cos }^{2011}}\left( \cfrac{\pi }{2}-2x \right)=1,{{\cos }^{2012}}\left( \cfrac{\pi }{2}+2x \right)=1\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow \cos \left( \cfrac{\pi }{2}-2x \right)=1,\cos \left( \cfrac{\pi }{2}+2x \right)=1

x=\cfrac{\pi}{4}=45^{\circ}