Через данную точку B проведите касательную к графику функции y=f(x). f(x)=корень из (3-x), В(4; 0) (аналитикой пожалуйста)

f(x)=\sqrt{3-x};\ B(4;\ 0)

Найдем производную функции:

f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{3-x} } \cdot(3-x)'=\dfrac{1}{2\sqrt{3-x} } \cdot(-1)=-\dfrac{1}{2\sqrt{3-x} }

Пусть x_0 - точка касания. Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x_0 имеет вид:

y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)

Найдем значение функции и значение производной в точке касания:

f(x_0)=\sqrt{3-x_0}

f'(x_0)=-\dfrac{1}{2\sqrt{3-x_0} }

Составим уравнение касательной:

y=\sqrt{3-x_0} -\dfrac{1}{2\sqrt{3-x_0} }\cdot (x-x_0)

По условию эта касательная проходит через точку B(4;\ 0). Поставим координаты этой точки в уравнение:

0=\sqrt{3-x_0} -\dfrac{1}{2\sqrt{3-x_0} }\cdot (4-x_0)

Решим уравнение и найдем точку касания:

\dfrac{4-x_0}{2\sqrt{3-x_0} }=\sqrt{3-x_0}

Учтем, что 3-x_0 > 0, и умножим обе части уравнения на 2\sqrt{3-x_0}:

4-x_0=2(3-x_0)

4-x_0=6-2x_0

2x_0-x_0=6-4

x_0=2

Подставим значение точки касания в составленное ранее уравнение касательной:

y=\sqrt{3-2} -\dfrac{1}{2\sqrt{3-2} }\cdot (x-2)

y=1 -\dfrac{1}{2 }\cdot (x-2)

y=1 -\dfrac{x}{2 }+1

Искомое уравнение касательной:

\boxed{y=2 -\dfrac{x}{2 }}