Пусть p(n) обозначает n-тое простое число (например, p(1) = 2, p(2) = 3, p(3) = 5 и так далее). Определите, существует ли такое натуральное число N , что для любого k \geq 1 : p(N + k) - p(N + k - 1) превышает F(k), где F(k) — k-тое число Фибоначчи.

Ответ:

Давайте разберёмся с этой задачей. Мы хотим определить, существует ли такое натуральное число N, что для любого k > 1 выполняется неравенство:

p(N + k) - p(N + k - 1) > F(k),

где p(n) - n-тое простое число, а F(k) - k-тое число Фибоначчи.

Для начала давайте рассмотрим некоторые свойства простых чисел и чисел Фибоначчи.

   Простые числа:

       Простые числа увеличиваются по мере увеличения n. То есть, p(n) < p(n + 1) для любого натурального n.

       Интервал между последовательными простыми числами увеличивается по мере увеличения n. То есть, разница p(n + 1) - p(n) увеличивается.

   Числа Фибоначчи:

       Числа Фибоначчи также увеличиваются по мере увеличения k. То есть, F(k) < F(k + 1) для любого натурального k.

Теперь предположим, что такое N существует.

Рассмотрим первое неравенство для k = 2:

p(N + 2) - p(N + 1) > F(2).

С учётом свойств простых чисел и чисел Фибоначчи, можно записать:

p(N + 2) - p(N + 1) >= p(2) - p(1) = 1 (так как разница между первыми двумя простыми числами равна 1),

и

F(2) = 1.

Таким образом, первое неравенство всегда будет выполняться.

Теперь рассмотрим второе неравенство для k > 2:

p(N + k) - p(N + k - 1) > F(k).

С учётом свойств простых чисел и чисел Фибоначчи, можно записать:

p(N + k) - p(N + k - 1) >= p(3) - p(2) = 2 (так как разница между вторым и третьим простыми числами равна 2),

и

F(k) > F(2) = 1 (так как числа Фибоначчи строго возрастают).

Таким образом, второе неравенство также всегда будет выполняться.

Исходя из рассмотренных свойств и рассуждений, мы видим, что при любом натуральном N неравенства будут выполняться. То есть, такое натуральное число N существует.