Найти скалярное произведение векторов p = 2a + 3b и q = a – 2 b, если |a|=2, |b|=3, а угол между векторами a и b равен 60°.

Ответ:

Скалярне (внутрішнє) произведення двох векторів \( u \) і \( v \) визначається за формулою:

\[ u \cdot v = |u| \cdot |v| \cdot \cos(\theta) \]

де \( |u| \) та \( |v| \) - довжини векторів \( u \) та \( v \), а \( \theta \) - кут між ними.

За заданими величинами:

\( |a| = 2 \)

\( |b| = 3 \)

\( \theta = 60^\circ \)

Ми можемо визначити вектори \( p \) і \( q \):

\( p = 2a + 3b \)

\( q = a - 2b \)

Підставляючи відомі значення в формулу скалярного произведення:

\[ p \cdot q = |p| \cdot |q| \cdot \cos(\theta) \]

\[ |p| = |2a + 3b| = \sqrt{(2 \cdot 2)^2 + (3 \cdot 3)^2} = \sqrt{4 + 9 \cdot 9} = \sqrt{85} \]

\[ |q| = |a - 2b| = \sqrt{(2 \cdot 2)^2 + (-2 \cdot 3)^2} = \sqrt{4 + 4 \cdot 9} = \sqrt{40} \]

Підставляючи значення \( |p| \), \( |q| \) та \( \theta \) у формулу:

\[ p \cdot q = \sqrt{85} \cdot \sqrt{40} \cdot \cos(60^\circ) \]

\[ p \cdot q = \sqrt{85} \cdot \sqrt{40} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3400}}{2} = \frac{10\sqrt{34}}{2} = 5\sqrt{34} \]

Таким чином, скалярне произведення векторів \( p \) і \( q \) дорівнює \( 5\sqrt{34} \).