Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 8, а двугранный угол, прилежащий к стороне основания, равен 30°.Найдите 3/4 часть боковой поверхности пирамиды.

Для обчислення 3/4 частини бічної поверхні піраміди, спершу треба знайти висоту бічної грані.За даними, висота піраміди (h) дорівнює 8, а двогранний кут (α) прилеглий до сторони основи дорівнює 30°. Оскільки піраміда правильна, то вона має рівносторонній трикутник у площині основи. Таким чином, кожний кут трикутника дорівнює 60°.Відомо, що висота трикутника дорівнює \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) раза довжини сторони, тому висота трикутника (h') дорівнює:\[h' = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot a,\]де \(a\) - довжина сторони основи.Далі, можна виразити \(a\) через \(h\):\[8 = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot a,\]\[a = \dfrac{16}{\sqrt{3}}.\]Тепер ми можемо обчислити площу бічної поверхні піраміди (S):\[S = \dfrac{1}{2} \cdot \text{основа} \cdot \text{висота бічної грані}.\]Оскільки висота трикутника \(h'\) дорівнює висоті бічної грані піраміди, то:\[S = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{16}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot 8,\]\[S = \dfrac{64}{\sqrt{3}}.\]Тепер, знаючи площу бічної поверхні піраміди, можна обчислити 3/4 цієї площі:\[3/4 \cdot S = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{64}{\sqrt{3}} = \dfrac{192}{\sqrt{3}} \approx 110.851.\]