Обчислити довжину дуги лінії: y= 4-x^2 між точками перетину її з віссю Оx.

Ответ:

Для обчислення довжини дуги лінії за формулою, потрібно інтегрувати вираз для довжини диференціального елементу дуги. В даному випадку, лінія описується рівнянням y = 4 - x^2. Точки перетину з віссю Ox можна знайти, встановивши y рівним нулю:

4 - x^2 = 0

x^2 = 4

x = ±2

Таким чином, точки перетину це (-2, 0) та (2, 0).

Довжину дуги можна обчислити за формулою:

L = ∫[a, b] sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx

де a та b - координати точок перетину на вісі Ox.

Перш за все, треба знайти похідну y відносно x:

dy/dx = -2x

Підставимо це значення в формулу для обчислення довжини дуги:

L = ∫[-2, 2] sqrt(1 + (-2x)^2) dx

Проведемо обчислення інтегралу:

L = ∫[-2, 2] sqrt(1 + 4x^2) dx

Цей інтеграл складний і вимагає використання тригонометричних підстановок. Результат буде числовим значенням, яке можна обчислити за допомогою обчислювальних інструментів або програм.