Решите тригонометрическое уравнение:5cos^2x-5cosx=1-sin^2x

Ответ:

Это тригонометрическое уравнение, сводящееся к квадратному.

Нужно знать основное тригонометрическое тождество:

cos²x + sin²x = 1.

Поэтому:

5cos²x - 5cosx = 1 - 3sin²x ,

5cos²x - 5cosx = 1 - 3(1 - cos²x) ,

5cos²x - 5cosx = 1 - 3 + 3cos²x ,

2cos²x - 5cosx + 2 = 0 .

Обозначим у = cosx, тогда получим и решим уравнение:

2у² - 5у + 2 = 0,

D = (-5)² - 4 · 2 · 2 = 25 - 16 = 9, √9 = 3.

у₁ = (5 + 3)/(2 · 2) = 8/4 = 2,

у₂ = (5 - 3)/(2 · 2) = 2/4= 1/2 .

Вернемся к исходному уравнению:

cosx = 2 - не имеет решения, т.к. |cosx| ≤ 1,

cosx = 1/2,

x = ±π/3 + 2πn , n ∈ Z.

Ответ: π/3 + 2πn, n ∈ Z.