1. a) Существует с ли выпуклый пятиугольник, углы которого равны 110º, 80º, 45º, 165º, 140 Ответ обоснуйте. глов равна 198002 [2] 021​

Ответ:

Нет, не существует выпуклого пятиугольника, углы которого равны 110º, 80º, 45º, 165º, 140º.

Сумма углов выпуклого многоугольника равна (n - 2) * 180º, где n - количество сторон многоугольника. В данном случае, сумма углов должна быть равна (5 - 2) * 180º = 540º.

Сумма углов, указанных в задаче, равна 110º + 80º + 45º + 165º + 140º = 540º.

Таким образом, сумма углов данного пятиугольника равна 540º, что соответствует сумме углов выпуклого пятиугольника. Однако, если мы рассмотрим этот пятиугольник на плоскости, то увидим, что он имеет один тупой угол (165º), что противоречит определению выпуклого многоугольника.

Таким образом, из двух условий, которые необходимо выполнить для того, чтобы пятиугольник был выпуклым, одно условие выполнено (сумма углов равна 540º), а другое условие не выполнено (имеются тупые углы). Поэтому, такого выпуклого пятиугольника не существует.

Вот доказательство того, что выпуклый многоугольник не может иметь тупых углов.

Пусть P - выпуклый многоугольник с n сторонами. Пусть A, B, C, ..., N - вершины многоугольника, а a, b, c, ..., n - соответствующие углы.

По определению выпуклого многоугольника, для любых трех последовательных вершин A, B, C, ..., N угол CAB должен быть острым.

Рассмотрим треугольник CAB. Угол CAB является тупым, поэтому его сумма меньше 180º.

Таким образом, сумма углов ABC должна быть больше 180º.

Но сумма углов ABC равна a + b + c.

Так как a, b, c - острые углы, то a + b + c < 180º.

Это противоречие.

Таким образом, выпуклый многоугольник не может иметь тупых углов.