На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2970. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 16 заменили на число 61). Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел. Будьте добры объясните максимально просто и пошагово.

Ответ:

Давайте рассмотрим эту задачу пошагово.

Пусть наши двузначные натуральные числа имеют вид XY, где X - это десятки, а Y - это единицы.

Мы знаем, что сумма всех этих чисел равна 2970, то есть:

10X1 + Y1 + 10X2 + Y2 + ... + 10Xn + Yn = 2970

Где X1, X2, ..., Xn и Y1, Y2, ..., Yn - это десятки и единицы в наших числах.

Теперь давайте поменяем местами десятки и единицы в каждом числе и сложим их:

10Y1 + X1 + 10Y2 + X2 + ... + 10Yn + Xn

Мы хотим найти минимальное значение этой суммы.

Обратите внимание, что сумма десятков и сумма единиц в исходных числах остаются неизменными, так как мы просто меняем их местами.

Таким образом, мы можем проигнорировать десятки и единицы и сконцентрироваться только на X и Y.

Чтобы получить минимальное значение суммы, нам нужно упорядочить цифры X и Y так, чтобы X1 было как можно меньше, а Y1 как можно больше, и так далее.

Мы также хотим, чтобы X2 было как можно больше, а Y2 как можно меньше, и так далее.

Таким образом, мы должны упорядочить цифры X и Y в порядке убывания:

X1 >= X2 >= X3 >= ... >= Xn

Y1 <= Y2 <= Y3 <= ... <= Yn

Это обеспечит минимальное значение суммы.

Теперь нам нужно найти X и Y, которые соответствуют этому порядку.

Поскольку сумма всех чисел равна 2970, то сумма всех X равна половине этой суммы, то есть 2970 / 2 = 1485.

Сумма всех Y равна 2970 - 1485 = 1485.

Теперь мы знаем, что X1 >= X2 >= X3 >= ... >= Xn и Y1 <= Y2 <= Y3 <= ... <= Yn, и суммы X и Y равны 1485.

Нам нужно разделить 1485 между X и Y, чтобы получить наименьшее возможное значение суммы. Это можно сделать следующим образом:

X = 990 (9 чисел по 110)

Y = 495 (9 чисел по 55)

Теперь мы знаем, что X = 990 и Y = 495, и можем вернуться к исходным числам:

Исходные числа: 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11

После замены местами десятков и единиц: 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11

Полученные числа не отличаются от исходных, и сумма остается равной 2970.

Итак, наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел после замены десятков и единиц - это также 2970.