Побудуйте переріз правильного тетраедра АВСD площиною, яка проходить через вершину D і середини ребер АВ та АС. Знайдіть периметр і площу перерізу, якщо АB=3.

Позначимо вершину A як точку (0, 0, 0). Оскільки ABCD - правильний тетраедр, ми можемо визначити координати інших вершин за допомогою відомого довжини ребра AB і факту, що всі сторони тетраедра рівні між собою.

Ребро AB має довжину 3, тому вершина B буде мати координати (3, 0, 0), а вершина C буде мати координати (-1.5, sqrt(27/4), 0), де sqrt позначає квадратний корінь.

Тепер ми знаємо координати всіх вершин тетраедра:

A (0, 0, 0)

B (3, 0, 0)

C (-1.5, sqrt(27/4), 0)

D (?)

Тепер ми можемо побудувати площину, яка проходить через вершину D і середини ребер AB і AC. Вектор нормалі площини буде перпендикулярним до цієї площини і може бути знайдений за допомогою векторного добутку векторів AB і AC:

N = AB × AC

N = (3, 0, 0) × (-1.5, sqrt(27/4), 0)

Далі, нормалізуємо вектор N (поділимо його на його довжину), щоб отримати одиничний вектор N:

N̂ = N / ||N||

Тепер ми можемо записати рівняння площини, що проходить через вершину D і є перпендикулярною до ребер AB і AC:

N̂ · (D - A) = 0

Підставимо координати вершини A і нормалізованого вектора N̂:

N̂ · (D - (0, 0, 0)) = 0

N̂ · D = 0

Тепер ми можемо знайти координати точки D, де переріз площини проходить через тетраедр:

D = λ * N̂, де λ - довільний параметр

Тепер ми знаємо координати точки D і можемо знайти відстань від неї до вершини A, щоб знайти периметр перерізу, і знайти площу цього перерізу.

Периметр перерізу: P = 3 * λ, де λ - відстань від D до A.

Площа перерізу: S = (sqrt(27/4) * 3 * λ) / 2

Знаючи значення λ, можна знайти значення P і S. Наприклад, якщо λ = 1 (тобто точка D знаходиться відразу за вершиною A), то P = 3 і S = (sqrt(27/4) * 3) / 2.