log3(2x-x²) Решить методом интервалов

Ответ:

Для решения методом интервалов нам нужно найти интервалы, на которых выражение log₃(2x - x²) определено и положительно.

Выражение log₃(2x - x²) определено, когда аргумент (2x - x²) больше 0, то есть:

2x - x² > 0

Чтобы решить это уравнение, мы можем вывести его в каноническую форму:

x² - 2x + 0 > 0

Затем решим получившееся уравнение:

(x - 0)(x - 2) > 0

Теперь мы можем построить таблицу знаков для выражения (x - 0)(x - 2):

x | (x - 0) | (x - 2) | (x - 0)(x - 2) > 0

------------------------------------------------------

x < 0 | - | - | +

------------------------------------------------------

0 < x < 2 | + | - | -

------------------------------------------------------

x > 2 | + | + | +

Итак, мы видим, что выражение (x - 0)(x - 2) > 0 для значений x, принадлежащих интервалам (-∞, 0) и (2, +∞).

Теперь найдем значения x, при которых выражение log₃(2x - x²) положительно. Так как log₃(2x - x²) положительно только тогда, когда его аргумент (2x - x²) больше 1, мы должны найти значения x, где (2x - x²) > 1.

Вернемся к уравнению (2x - x²) - 1 > 0:

2x - x² - 1 > 0

-x² + 2x - 1 > 0

Решим это уравнение:

Получаем x = (2 ± √(2² - 4(-1)(-1))) / (2(-1))

x = (2 ± √(4 - 4)) / (-2)

x = (2 ± √(0)) / (-2)

x = 1 / (-2) = -1/2

Таким образом, получаем, что (2x - x²) > 1 при x < -1/2 и при x > 1.

Итого, результатом решения данного уравнения методом интервалов будет:

x < -1/2 или x > 1.