Знайти площу фігури, обмеженої лініями: 1) y = 1-x², y = - x-1, x=1, x=2. 2) y=x²-x-5 i y = x - 2.​

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Для фігури, обмеженої лініями y=1−x2y=1−x2, y=−x−1y=−x−1, x=1x=1та x=2x=2:Спершу знайдемо точки перетину y=1−x2y=1−x2та y=−x−1y=−x−1: 1−x2=−x−11−x2=−x−1x2−x−2=0x2−x−2=0Розв'яжемо квадратне рівняння для xx:x=−1,x=2x=−1,x=2Тепер знайдемо значення yyу цих точках: y1=1−(−1)2=0y1​=1−(−1)2=0y2=1−22=−3y2​=1−22=−3Отже, ми маємо дві точки перетину: (−1,0)(−1,0)та (2,−3)(2,−3).Тепер знайдемо площу фігури, яка обмежена цими лініями та границями. Це буде площа під криволінійним сегментом y=1−x2y=1−x2від −1−1до 22та площа трапеції, обмеженої лініями x=1x=1та x=2x=2.Площа під кривою y=1−x2y=1−x2від −1−1до 22обчислюється як визначений інтеграл від −1−1до 22з функції 1−x21−x2:S1=∫−12(1−x2) dxS1​=∫−12​(1−x2)dxПлоща трапеції обчислюється як 12×(x2−x1)×(y1+y2)21​×(x2​−x1​)×(y1​+y2​):S2=12×(2−1)×(0+(−3))S2​=21​×(2−1)×(0+(−3))Отже, загальна площа фігури буде сумою S1S1​та S2S2​:Stotal=S1+S2Stotal​=S1​+S2​

Для фігури, обмеженої лініями y=x2−x−5y=x2−x−5та y=x−2y=x−2:Спочатку знайдемо точки перетину y=x2−x−5y=x2−x−5та y=x−2y=x−2. Розв'яжемо систему рівнянь: x2−x−5=x−2x2−x−5=x−2x2−2x−3=0x2−2x−3=0Розв'яжемо квадратне рівняння для xx:x=−1,x=3x=−1,x=3Тепер знайдемо значення yyу цих точках: y1=(−1)2−(−1)−5=−5y1​=(−1)2−(−1)−5=−5y2=32−3−5=1y2​=32−3−5=1Отже, ми маємо дві точки перетину: (−1,−5)(−1,−5)та (3,1)(3,1).Тепер знайдемо площу фігури, яка обмежена цими лініями та границями. Це буде площа під криволінійним сегментом y=x2−x−5y=x2−x−5від −1−1до 33та площа трапеції, обмеженої лініями x=−1x=−1та x=3x=3.Площа під кривою y=x2−x−5y=x2−x−5від −1−1до 33обчислюється як визначений інтеграл від −1−1до 33з функції x2−x−5x2−x−5:S1​=∫−13​(x2−x−5)dxПлоща трапеції обчислюється як 12×(x2−x1)×(y1+y2)21​×(x2​−x1​)×(y1​+y2​):S2=12×(3−(−1))×((−5)+1)S2​=21​×(3−(−1))×((−5)+1)Отже, загальна площа фігури буде сумою S1S1​та S2S2​:Stotal=S1+S2Stotal​=S1​+S2​