1 КУРС, ГЕОМЕТРИЯ, 70 БАЛОВ Эллипс проходит через точку А(4; -1) и касается прямой x+4y-10=0 . Составить уравнение этого эллипса при условии, что его оси совпадают с осями координат. со всеми формулами и объяснениями

Ответ:

Уравнение еліпса з центром в точці \((h, k)\) і вісімі, що паралельні осям координат, має такий вигляд:

\(\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1\),

де \(a\) і \(b\) - довжини напівосей еліпса. Ми можемо знайти ці довжини, використовуючи дані про точку А(4, -1) і рівняння прямої \(x + 4y - 10 = 0\).

1. Знайдемо точку перетину еліпса і прямої.

Спершу, визначимо \(y\) з рівняння прямої:

\(x + 4y - 10 = 0\),

\(4y = -x + 10\),

\(y = -\frac{1}{4}x + \frac{10}{4}\),

\(y = -\frac{1}{4}x + \frac{5}{2}\).

Тепер підставимо значення \(x = 4\) у це рівняння, щоб знайти \(y\):

\(y = -\frac{1}{4} \cdot 4 + \frac{5}{2} = -1 + \frac{5}{2} = \frac{3}{2}\).

Отже, точка А(4, -1) перетинає пряму \(x + 4y - 10 = 0\) в точці (4, 3/2).

2. Знайдемо довжину напівосі \(a\).

Довжина напівосі \(a\) - це відстань від центру еліпса до точки перетину на осі \(x\). Ми знаємо, що центр еліпса знаходиться на вісі \(x\) у точці \(h\), яка дорівнює середньому значенню \(x\) координати точки А і точки перетину прямої і еліпса:

\(h = \frac{4 + 4}{2} = 4\).

3. Знайдемо довжину напівосі \(b\).

Довжина напівосі \(b\) - це відстань від центру еліпса до точки перетину на осі \(y\). Ми знаємо, що центр еліпса знаходиться на вісі \(y\) у точці \(k\), яка дорівнює середньому значенню \(y\) координати точки А і точки перетину прямої і еліпса:

\(k = \frac{-1 + \frac{3}{2}}{2} = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}\).

Отже, ми знайшли значення \(h\) і \(k\), і тепер можемо записати уравнение еліпса:

\(\frac{(x - 4)^2}{a^2} + \frac{(y - \frac{1}{4})^2}{b^2} = 1\).

Залишається знайти значення \(a\) і \(b\). Ми вже знаємо координати точки А(4, -1) і точки перетину (4, 3/2).

Для \(a\) - відстань від центру до точки А по осі \(x\):

\(a = |4 - 4| = 0\).

Для \(b\) - відстань від центру до точки А по осі \(y\):

\(b = |\frac{1}{4} - (-1)| = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}\).

Замінюючи значення \(a\) і \(b\) у рівнянні еліпса, отримаємо остаточне рівняння:

\(\frac{(x - 4)^2}{0} + \frac{(y - \frac{1}{4})^2}{(\frac{5}{4})^2} = 1\).

Оскільки \(a = 0\), то рівняння стає:

\(\frac{(y - \frac{1}{4})^2}{(\frac{5}{4})^2} = 1\).

Це - уравнение еліпса з центром у точці (4, 1/4), великою осі \(2b = 5/2\), і малою осі \(2a = 0\).

Пошаговое объяснение:

якщо незрозумілі знаки, загугль