Давайте рассмотрим каждое заявление по отдельности и составим таблицу возможных вариантов количества конфет у каждого мальчика: 
 | Мальчик | Количество конфет | Утверждение | 
|---------|-------------------|-------------| 
| Илья    | 3                 | У меня конфет больше, чем у Лёши | 
|         | 2                 |             | 
|         | 1                 |             | 
| Максим  | 3                 | Ровно у двоих из нас по 3 конфеты | 
|         | 2                 |             | 
|         | 1                 |             | 
| Вова    | 3                 | У Лёши не 1 конфета | 
|         | 2                 |             | 
|         | 1                 |             | 
| Лёша    | 3                 | Количества конфет у Максима и Ильи отличаются не более чем на 1 | 
|         | 2                 |             | 
|         | 1                 |             |  
Так как только один мальчик соврал, то у остальных троих мальчиков заявления должны быть правдивыми. Из заявления Максима следует, что ровно у двоих из них по 3 конфеты. Поэтому, если у одного из мальчиков 1 конфета, то он не может быть одним из тех, у кого по 3 конфеты. Значит, у Максима и Ильи не может быть по 1 конфете.   
Из заявления Вовы следует, что у Лёши не может быть 1 конфета. Значит, Лёша не может быть тем, кто соврал, так как у него не может быть 1 конфета.   
Из заявления Ильи следует, что у него больше конфет, чем у Лёши. Значит, Илья не может иметь 1 конфету, так как Лёша не может иметь 1 конфету.   
Таким образом, остается только один вариант: у Максима и Ильи по 2 конфеты, у Вовы - 3 конфеты, у Лёши - 1 конфета.   
Ответ: Максим и Илья имеют по 2 конфеты, Вова имеет 3 конфеты, Лёша имеет 1 конфету.