1. Знайти cos(α + β) , sin(α − β), sin2β, cos α\2, tg2α, якщо sinα = 8\17 , cosβ = −4\5, π\2< α < π, π < β <3\π2 2. Доведіть тотожність 1+cos2α−cosα .............................= ctgα. sin2α−sinα. (точки и \ это полосы дробей)

Ответ:

cos2α = 2 * (15/17)² - 1 = 2 * (225/289) - 1 = (450/289) -

Пошаговое объяснение:

Для обчислення виразів cos(α + β), sin(α − β), sin²β, cos(α/2), tg²α спершу знайдемо значення sinα, cosβ та α та β, використовуючи вказані умови:

Дано:

sinα = 8/17

cosβ = -4/5

π/2 < α < π

π < β < 3π/2

Знайдемо cosα, використовуючи відоме значення sinα та факт, що π/2 < α < π:

cosα = √(1 - sin²α) = √(1 - (8/17)²) = √(1 - 64/289) = √(225/289) = 15/17

Знайдемо sinβ, використовуючи відоме значення cosβ та факт, що π < β < 3π/2:

sinβ = √(1 - cos²β) = √(1 - (-4/5)²) = √(1 - 16/25) = √(9/25) = 3/5

Знайдемо α + β:

Помітимо, що α і β знаходяться в різних квадрантах, і обидва є гострими кутами. Тому ми можемо використовувати тригонометричні тотожності для знаходження суми кутів.

cos(α + β) = cosα * cosβ - sinα * sinβ = (15/17) * (-4/5) - (8/17) * (3/5) = (-60/85) - (24/85) = -84/85

Знайдемо α - β:

Аналогічно до попереднього використовуємо тригонометричні тотожності для різниці кутів.

sin(α - β) = sinα * cosβ - cosα * sinβ = (8/17) * (-4/5) - (15/17) * (3/5) = (-32/85) - (45/85) = -77/85

Знайдемо sin²β:

sin²β = (sinβ)² = (3/5)² = 9/25

Знайдемо cos(α/2) використовуючи половинний кут:

cos(α/2) = ±√((1 + cosα) / 2) = ±√((1 + 15/17) / 2) = ±√((32/17) / 2) = ±√(16/17) = ±4/√17

Знайдемо tg²α:

tg²α = (sinα / cosα)² = (8/17) / (15/17) = (8/15)² = 64/225

Отже, отримали значення виразів:

cos(α + β) = -84/85

sin(α - β) = -77/85

sin²β = 9/25

cos(α/2) = ±4/√17

tg²α = 64/225

Доведення тотожності:

1 + cos²2α - cos2α = ctg2α

спростимо праву частину виразу:

ctg2α = (cos2α / sin2α)

помножимо і поділимо обидві частини на 1/2:

= (2 * cos2α) / (2 * sin2α)

= (2 * cos²α) / (2 * sin²α)

= cos²2α / sin²2α

Зараз давайте знайдемо значення лівої частини тотожності:

1 + cos²2α - cos2α

Знайдемо значення кожного елемента:

Знайдемо значення cos2α:

cos2α = 2 * (cosα)² - 1

Вже маємо значення cosα з попереднього розрахунку:

cos2α = 2 * (15/17)² - 1 = 2 * (225/289) - 1 = (450/289) -