№14. В классе 18 мальчиков и 15 девочек. Каждый мальчик, заходя в класс, записал на доске число 4 или 6, а каждая девочка число 5 или 8. Сумма всех записанных на доске чисел оказалась чётной. Докажите, что хотя бы одна девочка записала число 8. -​

Відповідь:

Покрокове пояснення:

Давайте рассмотрим общую сумму всех записанных чисел. Поскольку каждый мальчик записал 4 или 6, а каждая девочка 5 или 8, то сумма всех записанных чисел на доске будет иметь вид

4

�

+

5

�

+

2

�

4m+5f+2n, где

�

m - количество мальчиков (18),

�

f - количество девочек (15), и

�

n - количество записанных чисел 6 (поскольку 6 = 2 + 2 + 2).

Теперь нам нужно показать, что эта сумма четная. Для этого рассмотрим различные случаи:

Если

�

=

0

n=0, то сумма будет иметь вид

4

�

+

5

�

4m+5f. Четность зависит только от четности

�

f, и поскольку количество девочек

�

f четное, то сумма также четная.

Если

�

>

0

n>0, то сумма будет иметь вид

4

�

+

5

�

+

2

�

4m+5f+2n. Теперь четность зависит от суммы

(

5

�

+

2

�

)

(5f+2n). Поскольку 5 и 2 оба нечетные числа, их сумма будет четной, а следовательно, сумма

4

�

+

5

�

+

2

�

4m+5f+2n также четная.

Таким образом, мы показали, что общая сумма записанных чисел четная. Теперь давайте предположим, что ни одна девочка не записала число 8. Это означает, что все девочки записали число 5. Тогда общая сумма будет иметь вид

4

�

+

5

�

4m+5f, где

�

f - четное число, так как в классе 15 девочек. Однако это приводит к тому, что общая сумма будет нечетной, что противоречит нашему выводу о том, что она четная.

Следовательно, наше предположение о том, что ни одна девочка не записала число 8, неверно. Таким образом, мы доказали, что хотя бы одна девочка записала число 8.