Полное исследование функции

Для исследования функции y = √x + √(4-x), мы можем использовать следующую методологию:

1. Определение области определения:
Уравнение под корнем должно быть неотрицательным, поэтому 4-x ≥ 0, значит x ≤ 4. Также, x должен быть неотрицательным, поэтому x ≥ 0. Следовательно, область определения функции состоит из всех x, таких что 0 ≤ x ≤ 4.

2. Найдите точки пересечения с осями координат:
Чтобы найти точки пересечения с осью x, мы должны решить уравнение у = 0: 0 = √x + √(4-x). Возведение в квадрат обеих частей уравнения, получаем 0 = x + 2√x√(4-x) + 4 - x. Сокращение и перенос всех переменных в левую часть, мы получаем √x√(4-x) = -4. Так как квадратный корень - строго положительный, у нас нет действительных решений этого уравнения. Таким образом, функция не пересекает ось x.

Чтобы найти точку пересечения с осью y, мы должны решить уравнение x = 0: y = √0 + √(4-0). Это просто y = 2. Так что функция пересекает ось y в точке (0, 2).

3. Найдите производную функции:
y' = (1/2√x) - (1/2√(4-x))

4. Найдите точки экстремума:
Чтобы найти точки экстремума, мы равняем производную функции равной нулю: 0 = (1/2√x) - (1/2√(4-x)). Умножая обе части уравнения на 2, мы получаем √(4-x) = √x. Возведение в квадрат обеих частей уравнения и сокращение, мы получаем 4-x = x. Решая это уравнение, мы находим x = 2. Подставляя значение x в исходную функцию, мы находим y = √2 + √(4-2) = √2 + √2 = 2√2. Таким образом, функция имеет точку экстремума в (2, 2√2).

5. Исследуйте поведение функции в интервалах между экстремумами и на концах области определения:
На интервале от 0 до 2, производная функции положительна (y' > 0), что говорит о возрастании функции. Это также означает, что на этом интервале функция находится над прямой y = 0.

На интервале от 2 до 4, производная функции отрицательна (y' < 0), что говорит о убывании функции. Это также означает, что на этом интервале функция находится под прямой y = 0.

Таким образом, мы можем построить график функции, зная, что она пересекает ось y в точке (0, 2) и имеет точку экстремума в (2, 2√2). Функция увеличивается на интервале [0, 2) и уменьшается на интервале (2, 4].